Question

已知二次函数f（x）=x²+px+q通过点（α，0），（β，0）．若存在整数n，使n＜α＜β＜n+1，则min{f（n），f（n+1）}的取值范围为    ．

Answer

由题意可得，f（n）＞0，f（n+1）＞0，由方程的根与系数关系可得-p=α+β，q=αβ，先寻求f（n）=f（n+1）时的条件，然后再由f（n）的表达式求解范围
【解析】
由题意可得，f（n）＞0，f（n+1）＞0，
由方程的根与系数关系可得-p=α+β，q=αβ．
当f（n）=f（n+1）时，
n2+pn+q=（n+1）2+p（n+1）+q，
即2n+1+p=0，
∴-p=2n+1，
∴α+β=-p=2n+1，
∴n=（α+β-1）
∵f（n）=n2+pn+q=n2-（2n+1）n+q=-n2-n+q=-n（n+1）+q=-（α+β-1）（α+β+1）+αβ
=
min{f（n），f（n+1）}的取值范围是（0，）．