Question

如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB，现要修一条地铁L，在OA上设一站，在OB上设一站，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，设地铁在AB部分的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立关系式：
（i）设∠OAB=α，将y表示为α的函数；
（ii）设OA=m，OB=n，用m，n表示y；
（2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短，并求出最短距离．

Answer

（1）（i）过O作OH⊥AB于H，则由及直角三角形的三角关系可求AH=10cotα，，而AB=AH+BH，整理即可
（ii） 由等面积原理得，可求AB
（2）选择方案一：结合正弦函数的性质可求AB的最小值
选择方案二：由余弦定理得=，结合基本不等式可求AB的最小值
【解析】
（1）（i）过O作OH⊥AB于H
由题意得，
且
即AH=10cotα…（2分）
即…（4分）
∴==…（8分）
（ii） 由等面积原理得，即…（10分）
（2）选择方案一：当时，…（12分）
此时，而
所以．                         …（14分）
选择方案二：因为，
由余弦定理得=
∴…（12分）
即（当且仅当时取等号）…（14分）