Question

对于集合M={1，2，3…，2n，…}，若集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*，满足A∪B=M．
（1）若数列{a_n}的通项公式是，求等差数列{b_n}的通项公式；
（2）若M为2n元集合，A∩B=∅且，则称A∪B是集合M的一种“等和划分”（A∪B与B∪A算是同一种划分）．
已知集合M={1，2，…，12}
①若12∈A，集合A中有五个奇数，试确定集合A；
②试确定集合M共有多少种等和划分？

Answer

（1）利用an=2n-1，可得A={1，2，4，8，…}，从而3，5，6，7∈B，由此可求等差数列{bn}的通项公式；
（2）①因为12∈A，由于当集合A确定后，集合B便是唯一确定的，故只须考虑集合A的个数，确定集合A={a1，a2，…，a6}，a6为最大数，A1={ a1，a2，…，a5 }中有奇数个奇数，由此可结论；
②由①可知，若A1 中有五个奇数，得到唯一的A={1，3，5，7，11，12}，再考虑A1 中有三个奇数、两个偶数，用p表示A1中这两个偶数，x1，x2 之和，q表示A1中这三个奇数y1，y2，y3 之和，则p≥6，q≥18．于是，q≤21，p≤18．共得A1的24种情形；
（3）若A1中有一个奇数、四个奇数，由于M中除12外，其余的五个偶数之和为2+4+6+8+10=30，从中去掉一个偶数，补加一个奇数，使A1中五个数之和为27，可以得到A1的4种情形，从而可得结论．
【解析】
（1）∵an=2n-1，∴A={1，2，4，8，…}
∴3，5，6，7∈B，∴bn的公差d=1                                …（2分）
若b1=3，则bn=3+n-1=n+2
若b2=3，则b1=2，则bn=2+n-1=n+1
若b3=3，则bn=n                                              …（5分）
（2）①因为12∈A，由于当集合A确定后，集合B便是唯一确定的，故只须考虑集合A的个数
设集合A={a1，a2，…，a6}，a6为最大数，由1+2+…+12=78，知a1+a2+…+a6=39，a6=12，
于是a1+a2+…+a5=27，故A1={ a1，a2，…，a5}中有奇数个奇数．
A1 中有五个奇数，因M中的六个奇数之和为36，而27=36-9，所以，A1={1，3，5，7，11}．
此时，得到唯一的A={1，3，5，7，11，12}．…（8分）
②由①可知，若A1 中有五个奇数，得到唯一的A={1，3，5，7，11，12}
若A1 中有三个奇数、两个偶数，用p表示A1中这两个偶数，x1，x2 之和，q表示A1中这三个奇数y1，y2，y3 之和，则p≥6，q≥18．于是，q≤21，p≤18．共得A1的24种情形．…（10分）
①当p=6，q=21时，（ x1，x2）=（2，4），（y1，y2，y3）=（1，9，11），（3，7，11），（5，7，9）可搭配成A1的3种情形；
②当p=8，q=19时，（ x1，x2）=（2，6），（y1，y2，y3）=（1，7，11），（3，5，11），（5，7，9）可搭配成A1的3种情形；
③p=10，q=17时，（ x1，x2）=（2，8），（4，6）（y1，y2，y3）=（1，5，11），（1，7，9），（3，5，9），可搭配成A1的3种情形；
④p=12，q=15时，（ x1，x2）=（2，10），（4，8），（y1，y2，y3）=（1，3，11），（1，5，9），（3，5，7），可搭配成A1的6种情形；
⑤当p=14，q=13时，（ x1，x2）=（4，10），（6，8），（y1，y2，y3）=（1，3，9），（1，5，7），可搭配成A1的4种情形；
⑥当p=16，q=11时，（ x1，x2）=（6，10），（y1，y2，y3）=（1，3，7）可搭配成A1的1种情形；
⑦当p=18，q=9时，（ x1，x2）=（8，10），（y1，y2，y3）=（1，3，5），可搭配成A1的1种情形；
（3）若A1中有一个奇数、四个奇数，由于M中除12外，其余的五个偶数之和为2+4+6+8+10=30，从中去掉一个偶数，补加一个奇数，使A1中五个数之和为27，分别得到A1的4种情形（7，2，4，6，8），（5，2，4，6，10），（3，2，4，8，10），（1，2，6，8，10）…（14分）
综上，集合A有1+24+4=29种情形，即M有29种等和划分．…（16分）