Question

点P（x，y）是曲线C：（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y周分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：①PA=PB；②△OAB的面积为定值；③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．其中真命题的个数是    ．

Answer

曲线C在点P处的切线方程为，求出A（2x，0），B（0，），P（），由此得到PA=PB，△OAB的面积S==2；由题意知曲线C上不存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．
【解析】
∵（x＞0），
∴y′=-，
∴曲线C在点P处的切线方程为：y-=-（x-x），
整理，得，
∴A（2x，0），B（0，），P（），
∴PA=PB=，故①正确；
∵A（2x，0），B（0，），
∴△OAB的面积S==2，故②正确；
曲线C上不存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形，故③不正确．
故答案为：2．