Question

如图，有一位于A处的雷达观测站发现其北偏东45°，与A相距海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45°+θ（其中，0°＜θ＜45°）且与观测站A相距海里的C处．
（1）求该船的行驶速度v（海里/小时）；
（2）在离观测站A的正南方20海里的E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如果货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由．

Answer

（1）利用，0°＜θ＜45°，求出cosθ的值，再利用余弦定理，即可求得结论；
（2）由（1）知，在△ABC中，cosB=，sinB=，设BC延长线交AE于F，则∠AFB=45°-∠B，∠ACF=θ+∠B，在△AFC中，由正弦定理，即可求得结论．
【解析】
（1）由题意，AB=，AC=，∠BAC=θ
∵，0°＜θ＜45°，∴cosθ=
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcosθ=125，∴BC=5
∵航行时间为20分钟
∴该船的行驶速度v==15（海里/小时）；
（2）由（1）知，在△ABC中，cosB==，
∴sinB=
设BC延长线交AE于F，则∠AFB=45°-∠B，∠ACF=θ+∠B
在△AFC中，由正弦定理可得
∴，0°＜θ＜45°，sinθ=，cosθ=
∴AF=（海里）
∴F与E重合，即货船不改变航向继续前行会有触礁的危险．