Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，n∈N^*，a_n＞0，数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{S_n}中存在若干项，按从小到大的顺序排列组成一个以S₁为首项，3为公比的等比数列{b_n}，
①求数列{b_n}的项数k与n的关系式k=k（n）；
②记，求证：．

Answer

（1）利用，可得，从而可得数列{}是以为首项，2为公差的等差数列，进而可求Sn，利用当n≥2时，an=Sn-Sn-1，即可求得数列的通项；
（2）①先确定bn=3n-1，再设bn是数列{Sn}中的第k项，即可求得结论；
②n≥2时，＜，由此可证结论．
（1）【解析】
∵
∴
∴
∵a1=1，∴
∴数列{}是以为首项，2为公差的等差数列
∴=
∵a1=1，an＞0，
∴Sn＞1
∴
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
当n=1时，a1=1，
∴an=；
（2）①【解析】
∵数列{Sn}中存在若干项，按从小到大的顺序排列组成一个以S1为首项，3为公比的等比数列{bn}，
∴bn=3n-1
设bn是数列{Sn}中的第k项，即，∴
∴；
②证明：n≥2时，＜，
∴
∵
∴．