Question

若2|x-1|+|x-a|≥2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为    ．

Answer

若丨x-1丨≥1，2|x-1|+|x-a|≥2对任意实数x恒成立，a∈R；于是2丨x-1丨+丨x-a丨≥2 对任意实数x恒成立⇔2丨x-1丨+丨x-a丨≥2 对x∈（0，2）恒成立，对x分x∈（0，1]与x∈（1，2）讨论解决即可．
【解析】
∵当丨x-1丨≥1，即x≥2或x≤0时，2|x-1|≥2，
∴2|x-1|+|x-a|≥2对任意实数x恒成立，
∴原不等式对任意实数a恒成立，
∴2丨x-1丨+丨x-a丨≥2 对任意实数x恒成立⇔2丨x-1丨+丨x-a丨≥2 对x∈（0，2）恒成立．
（1）若当x∈（0，1]时，得|x-a|≥2x，即a≥3x，或a≤-x对x∈（0，1]恒成立，则a≥3，或a≤-1；
（2）若当x∈（1，2）时，得|x-a|≥4-2x，即a≥4-x，或a≤3x-4对x∈（1，2）恒成立，则a≥3，或a≤-1．
综上，实数a的取值范围是a≥3，或a≤-1．
故答案为：（-∞，-1]∪[3，+∞）．