Question

对于任意的平面向量，定义新运算⊕：．若为平面向量，k∈R，则下列运算性质一定成立的所有序号是    ．
①=；    ②；    ③
④；     ⑤．

Answer

根据题意，设向量，=（m，n），进而分析所给的命题：对于①，计算⊕与⊕，分析可得①正确，对于②，分别计算（k）⊕与⊕（k），分析即可得②错误；对于③，先计算⊕，由向量的坐标运算可得k（⊕），同理可得（k）⊕（k），分析可得③错误；对于④，先计算⊕，进而可得⊕（⊕），同理计算可得（⊕）⊕=（m+x1+x2，ny1y2），分析可得④正确；对于⑤，由向量的坐标运算可得+，进而可得⊕（+），结合题意，计算可得⊕、⊕，由向量的坐标运算可得⊕+⊕，分析可得⑤正确；综合可得答案．
【解析】
根据题意，设向量，=（m，n），
分析命题：
对于①，⊕=（x1+x2，y1y2），⊕=（x2+x1，y2y1），则⊕=⊕，则①正确；
对于②，（k）⊕=（kx1+x2，ky1y2），而⊕（k）=（x1+kx2，ky1y2），有（k）⊕≠⊕（k），则②错误；
对于③，⊕=（x1+x2，y1y2），k（⊕）=k（x1+x2，y1y2）=（kx1+kx2，ky1y2），而（k）⊕（k）=（kx1+kx2，k2y1y2），有k（⊕）≠（k）⊕（k），③错误；
对于④，⊕=（m+x2，ny2），⊕（⊕）=（m+x1+x2，ny1y2），而⊕=（x1+x2，y1y2），（⊕）⊕=（m+x1+x2，ny1y2），有⊕（⊕）=（⊕）⊕，④正确；
对于⑤，+=（m+x2，n+y2），⊕（+）=（m+x1+x2，y1n+y1y2），而⊕=（x1+x2，y1y2），⊕=（m+x2，ny2），⊕+⊕=（2m+x1+x2，y1y2+ny2），⑤正确；
即①④正确；
故答案为①④．