Question

设椭圆C：x²+2y²=2b²（常数b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，M，N是直线l：x=2b上的两个动点，．
（1）若，求b的值；
（2）求|MN|的最小值．

Answer

（1）设M（2b，y1），N（2b，y2），根据椭圆方程得到椭圆左、右焦点的坐标，从而得到向量的坐标，结合向量数量积的坐标公式和向量模的公式建立关于b、y1、y2的方程组，消去y1、y2，可得正数b的值．
（2）由（1）设的坐标，得|MN|=|y1-y2|，将其平方再用基本不等式，即可得到当且仅当y1、y2互为相反数且其中一个为时，|MN|2的最小值为12b2，由此得到|MN|的最小值．
【解析】
设M（2b，y1），N（2b，y2）…（1分）
∵椭圆方程为，∴椭圆的左右焦点分别为F1（-b，0），F2（b，0），
由此可得：，
∵，∴3b•b+y1y2=0，得①…（3分）
（1）由，得
…②，③…（5分）
由①、②、③三式，消去y1，y2，可得． …（8分）
（2）∵M（2b，y1），N（2b，y2），
∴，（12分）
当且仅当或时，|MN|取最小值． …（14分）