Question

如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…是曲线上的点，A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…，A_n（a_n，0），…是x轴正半轴上的点，且△AA₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A为坐标原点）．
（1）写出a_n-1、a_n和x_n之间的等量关系，以及a_n-1、a_n和y_n之间的等量关系；
（2）猜测并证明数列{a_n}的通项公式；
（3）设，集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n，…}，A={x|x²-2ax+a²-1＜0，x∈R}，若A∩B=∅，求实常数a的取值范围．

Answer

（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，，．
（2）由得 =，即，猜测，
再用数学归纳法进行证明．
（3）用裂项法求得的值为，由函数在区间
[1，+∞）上单调递增，且，求得，再由 A={x|x2-2ax+a2-1＜0，a∈R}=
{x|x∈（a-1，a+1）}，A∩B=φ，有a+1≤0，或，由此求得实常数a的取值范围．
【解析】
（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，，．…（4分）
（2）由得 =，
即，猜测．      …（2分）
证明：①当n=1时，可求得 ，命题成立． …（1分）
②假设当n=k时，命题成立，即有，…（1分）
则当n=k+1时，由归纳假设及，
得，
即
解得，（不合题意，舍去），
即当n=k+1时，命题成立．   …（3分）
综上所述，对所有n∈N*，．      …（1分）
（3）==．…（2分）
因为函数在区间[1，+∞）上单调递增，且，
所以．…（2分）
A={x|x2-2ax+a2-1＜0，a∈R}={x|x∈（a-1，a+1）}
由A∩B=φ，有a+1≤0，或 ，
故，，即 实常数a的取值范围为 ．…（2分）