Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=4，DC=3，E是PC的中点．
（I）证明：PA∥平面BDE；
（II）求△PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积．

Answer

（I）连接AC交BD于O，连接EO．在△PCA中，根据中位线定理得到OE∥PA．再结合直线与平面平行的判定定理，可证出PA∥平面BDE．
（II）过D作PA的垂线，垂足为H，则△PAD以PA为轴旋转所围成的几何体为DH为半径，分别以PH，AH为高的两个圆锥的组合体．利用锥体的体积计算公式，结合题中条件不难求出DH的长，从而算出该几何体的体积．
【解析】
（I）连接AC交BD于O，连接EO．
∵ABCD是正方形，∴O为AC中点，
∵E为PA的中点，∴OE∥PA．
又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（II）过D作PA的垂线，垂足为H，则
△PAD以以PA为轴旋转所围成的几何体为DH为半径，分别以PH，AH为高的两个圆锥的组合体
∵侧棱PD⊥底面ABCD，AD⊆底面ABCD
∴PD⊥AD，
∵PD=4，DA=DC=3，∴PA=5，
所以，该几何体的体积为：
===．