Question

函数y=2^x和y=x³的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
（1）设曲线C₁，C₂分别对应函数y=f（x）和y=g（x），请指出图中曲线C₁，C₂对应的函数解析式．若不等式kf[g（x）]-g（x）＜0对任意x∈（0，1）恒成立，求k的取值范围；
（2）若x₁∈[a，a+1]，x₂∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，求a，b的值．

Answer

（1）由题意，C1对应的函数为f（x）=x3，C2对应的函数为g（x）=2x ，不等式kf[g（x）]-g（x）＜0，等价于k•23x＜2x，利用分离参数法，可求k的取值范围；
（2）令φ（x）=g（x）-f（x）=2x-x3，则x1，x2为函数φ（x）的零点，根据零点存在定理，可得两个零点x1∈（1，2），x2∈（9，10），由此可得a，b的值．
【解析】
（1）由题意，C1对应的函数为f（x）=x3，C2对应的函数为g（x）=2x
不等式kf[g（x）]-g（x）＜0，等价于k•23x＜2x，则k＜4-x对任意x∈（0，1）恒成立（4分）
∵，∴
（2）令φ（x）=g（x）-f（x）=2x-x3，则x1，x2为函数φ（x）的零点，
由于φ（1）=1＞0，φ（2）=-4＜0，φ（9）=29-93＜0，φ（10）=210-103＞0，
则方程φ（x）=f（x）-g（x）的两个零点x1∈（1，2），x2∈（9，10），
因此整数a=1，b=9．