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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1. (Ⅰ)...

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1
(Ⅰ)求证:AB⊥BC;
(Ⅱ)若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ,试判断θ与φ的大小关系,并予以证明.

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本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识,同时考查空间想象能力和推理能力. (1)若要证明AB⊥BC,可以先证明AB⊥平面BC1,由线面垂直的性质得到线线垂直. (2)要判断直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ的大小关系,可以先做出二面角的平面角,再根据三角函数的单调性进行解答.也可以根据(1)的结论,以以点B为坐标原点,以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系利用空间向量,求出两个角的正弦值,再根据三角函数的单调性解答. 【解析】 (Ⅰ)证明:如图,过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D, 由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B,得 AD⊥平面A1BC,又BC⊂平面A1BC, 所以AD⊥BC. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱, 则AA1⊥底面ABC, 所以AA1⊥BC. 又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1, 又AB⊂侧面A1ABB1,故AB⊥BC. (Ⅱ)解法1:连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角,∠ABA1是二面角A1-BC-A的平面角,即∠ACD=θ,∠ABA1=φ, 于是在Rt△ADC中,,在Rt△ADB中,, 由AB<AC,得sinθ<sinφ,又,所以θ<φ, 解法2:由(Ⅰ)知,以点B为坐标原点,以BC、BA、BB1所在的直线分 别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设AA1=a,AC=b, AB=c,则B(0,0,0),A(0,c,0),, 于是,. 设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z), 则由.得. 可取n=(0,-a,c),于是与n的夹角β为锐角,则β与θ互为余角.,, 所以, 于是由c<b,得, 即sinθ<sinφ,又,所以θ<φ,
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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