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已知椭圆C:(a>b>0)经过点(,),一个焦点是F(0,-). (Ⅰ)求椭圆C...

已知椭圆C:manfen5.com 满分网(a>b>0)经过点(manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网),一个焦点是F(0,-manfen5.com 满分网).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C与y轴的两个交点为A1、A2,点P在直线y=a2上,直线PA1、PA2分别与椭圆C交于M、N两点.试问:当点P在直线y=a2上运动时,直线MN是否恒经过定点Q?证明你的结论.
(I)假设椭圆方程,利用点(,)在椭圆上,即可确定椭圆方程; (II)先确定直线MN恒经过定点Q(0,1),再证明:当MN斜率不存在时,直线MN即y轴,通过点Q(0,1);当点P不在y轴上时,确定直线PA1,PA2与椭圆方程联立,确定交点坐标,进而可得斜率,由此可得结论. 【解析】 (I)一个焦点是F(0,-),故c=,可设椭圆方程为      …(2分) ∵点(,)在椭圆上,∴ ∴b2=1,(舍去) ∴椭圆方程为                      …(4分) (II)直线MN恒经过定点Q(0,1),证明如下: 当MN斜率不存在时,直线MN即y轴,通过点Q(0,1),…(6分) 当点P不在y轴上时,设P(t,4),A1(0,2)、A2(0,-2),M(x1,y1),N(x2,y2), 直线PA1方程y=,PA2方程y=, y=代入得(1+t2)x2+2tx=0, 得x1=-,y1=,∴,…(8分) y=代入得(9+t2)x2-6tx=0 得x2=,y2=,∴,…(10分) ∴kQM=kQN,∴直线MN恒经过定点Q(0,1).        …(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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