Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点（，），一个焦点是F（0，-）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与y轴的两个交点为A₁、A₂，点P在直线y=a²上，直线PA₁、PA₂分别与椭圆C交于M、N两点．试问：当点P在直线y=a²上运动时，直线MN是否恒经过定点Q？证明你的结论．

Answer

（I）假设椭圆方程，利用点（，）在椭圆上，即可确定椭圆方程；
（II）先确定直线MN恒经过定点Q（0，1），再证明：当MN斜率不存在时，直线MN即y轴，通过点Q（0，1）；当点P不在y轴上时，确定直线PA1，PA2与椭圆方程联立，确定交点坐标，进而可得斜率，由此可得结论．
【解析】
（I）一个焦点是F（0，-），故c=，可设椭圆方程为      …（2分）
∵点（，）在椭圆上，∴
∴b2=1，（舍去）
∴椭圆方程为                      …（4分）
（II）直线MN恒经过定点Q（0，1），证明如下：
当MN斜率不存在时，直线MN即y轴，通过点Q（0，1），…（6分）
当点P不在y轴上时，设P（t，4），A1（0，2）、A2（0，-2），M（x1，y1），N（x2，y2），
直线PA1方程y=，PA2方程y=，
y=代入得（1+t2）x2+2tx=0，
得x1=-，y1=，∴，…（8分）
y=代入得（9+t2）x2-6tx=0
得x2=，y2=，∴，…（10分）
∴kQM=kQN，∴直线MN恒经过定点Q（0，1）．        …（12分）