Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．
（Ⅰ）求证：CD²=DE•DB；
（Ⅱ）若CD=2，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．

Answer

（I）证明△BCD∽△CED，利用相似三角形的性质，可得结论；      
（II）根据D是弧AC的中点，可得OD⊥AC，设垂足为F，在直角△CFD中，利用DC2=CF2+DF2，建立方程，即可求得⊙O的半径．
（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD
∵∠ABD=∠ECD，∴∠CBD=∠ECD
∵∠BDC=∠EDC，∴△BCD∽△CED
∴，
∴CD2=DE•DB；        
（II）【解析】
∵D是弧AC的中点
∴OD⊥AC，设垂足为F
在直角△CFO中，OF=1，OC=r，CF=r2-1
在直角△CFD中，DC2=CF2+DF2
∴（2）2=（r2-1）+（r-1）2
∴r2-r-6=0
∴（r-3）（r+2）=0
∴r=3