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已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R) (1)若函数f(x)...

已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R)
(1)若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值,当x∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范围
(2)若g(x)=x3+(b-a+1)x+a+c 写出使的g(x)>f(x)的x取值范围.

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(1)根据所给的函数在两个点取得极值,写出函数的导函数,则导函数在这两个点的值等于0,得到关于a,b的方程组,解方程组即可求出a,b;再根据单调性求出函数的最大值,让其小于代数式即可. (2)先把不等式转化为ax2+(1-a)x+a>0;再通过对a的取值的讨论即可得到g(x)>f(x)的x取值范围. 【解析】 (1)f′(x)=3x2-2ax+b, ∵函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值, ∴-1,3是方程3x2-2ax+b=0的两根, ∴⇒ ∴f(x)=x3-3x2-9x+c,f′(x)=3x2-6x-9, 当x变化时,有下表 x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞) f’(x) + - + f(x) ↗ 最大值 c+5 ↘ 最小值 c-27 ↗ 而f(-2)=c-2,f(6)=c+54, ∴x∈[2,6]时f(x)的最大值为c+54 要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|即可 ⇒c>54,c<-18. ∴c∈(-∞,-18)∪(54,+∞) (2)不等式可化为ax2+(1-a)x+a>0. 当a=0时,x>0 当a≠0时,对应方程的△=1-3a2-2a=-(3a-1)(a+1) 所以:当0<a<时,x>或x< 当a>时,x∈R, 当a=时,x≠-1 当-1<a<0时,<x< 当a≤-1时,x∈∅.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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