Question

设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N*，S_n是a_n²和a_n的等差中项．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明++…+＜2；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式S_n-1005＞恒成立，求这样的正整数m共有多少个？

Answer

（Ⅰ）当n=1时求得a1；当n≥2时根据2an=2Sn-2Sn-1化简整理得an-an-1=1判断数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
（Ⅱ）把（Ⅰ）求得的an代入Sn进而可根据裂项法进行求和得++…+=2（1-）＜2；原式得证．
（Ⅲ）Sn-1005＞，求得n的范围．进而可得集合M，依据m∈M，所以m=2010，2012，，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列，进而求得k
【解析】
（Ⅰ）由已知，2Sn=an2+an，且an＞0．，当n=1时，2a1=a12+a1，解得a1=1．
当n≥2时，有2Sn-1=an-12+an-1．于是2Sn-2Sn-1=an2-an-12+an-an-1，即2an=an2-an-12+an-an-1
．于是an2-an-12=an+an-1，即（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1．
因为an+an-1＞0，所以an-an-1=1（n≥2）．
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，且an=n．
（Ⅱ）因为an=n，则Sn==2（-）．
所以+++=2[（1-）+（-）++（-）]=2（1-）＜2；
（Ⅲ）由Sn-1005＞，得-1005＞，即＞1005，所以n＞2010．
由题设，M={2000，2002，，2008，2010，2012，，2998}，
因为m∈M，所以m=2010，2012，，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列．
设这个等差数列共有k项，则2010+2（k-1）=2998，
解得k=495．
故集合M中满足条件的正整数m共有495个．