Question

已知直线x-y+1=0经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．
（1）求椭圆S的方程；
（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．
①若直线PA平分线段MN，求k的值；
②对任意k＞0，求证：PA⊥PB．

Answer

（1）在直线x-y+1=0中，令x=0得y=1；令y=0得x=-1，故c=b=1，a2=2，由此能求出椭圆方程．
（2）①，N（0，-1），M、N的中点坐标为（，），所以
②法一：将直线PA方程y=kx代入，解得，记，则P（m，mk），A（-m，-mk），于是C（m，0），故直线AB方程为，代入椭圆方程得（k2+2）x2-2k2mx+k2m2-8=0，由此能够证明PA⊥PB．
法二：设P（x，y），A（-x，-y），B（x1，y1），则C（x，0），由A、C、B三点共线，知=，由此能够证明PA⊥PB．
【解析】
（1）在直线x-y+1=0中令x=0得y=1；令y=0得x=-1，
由题意得c=b=1，
∴a2=2，
则椭圆方程为．
（2）①，N（0，-1），
M、N的中点坐标为（，），
所以．
②解法一：将直线PA方程y=kx代入，
解得，
记，
则P（m，mk），A（-m，-mk），于是C（m，0），
故直线AB方程为，
代入椭圆方程得（k2+2）x2-2k2mx+k2m2-8=0，
由，
因此，
∴，，
∴，
∴，故PA⊥PB．
解法二：由题意设P（x，y），A（-x，-y），B（x1，y1），则C（x，0），
∵A、C、B三点共线，
∴=，
又因为点P、B在椭圆上，
∴，，
两式相减得：，
∴=-=-1，
∴PA⊥PB．