Question

已知数列{a_n}中，a₁=4，a₂=6，且a_n+1=4a_n-3a_n-1（n≥2），设b_n=a_n+1-a_n，
（1）求证数列{b_n}成等比数列；
（2）求m的值及{c_n}的前n项和．

Answer

（1）利用an+1=4an-3an-1（n≥2），可得an+1-an=3（an-an-1），从而可得数列{bn}的通项公式；
（2）由（1）知，an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=4+2+…+2×3n-1=3n-1+3，再利用数列{cn}成等比数列，可求m的值，从而可求cn}的前n项和．
（1）证明：∵an+1=4an-3an-1（n≥2），∴an+1-an=3（an-an-1），
∵bn=an+1-an，
∴bn=3bn-1（n≥2），
∵b1=a2-a1=2
∴数列{bn}是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为bn=2×3n-1；
（2）【解析】
由（1）知，an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=4+2+…+2×3n-1=3n-1+3
∵
∴
∵数列{cn}成等比数列
∴=（n≥2）
∴3q=1
∴q=
∴
∴
∴{cn}的前n项和为=