Question

已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点为抛物线x²=4y的焦点．
（I）求椭圆方程；
（II）若直线y=x-1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程；
（III）若斜率为1的直线交椭圆于M、N两点，求△OMN面积的最大值（O为坐标原点）．

Answer

（I）设出椭圆的标准方程，利用抛物线的焦点坐标可得b的值，利用椭圆的离心率，即可求得椭圆的几何量，从而可得椭圆的方程；
（II）将直线y=x-1代入x2=4y得x2-4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，由此能求出圆A的方程；
（III）设斜率为1的直线方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y可得3x2+4mx+2m2-2=0，利用韦达定理计算|MN|，求得原点O到直线MN的距离，从而可表示三角形的面积，利用基本不等式，可求OMN面积的最大值．
【解析】
（I）设椭圆的方程：
∵椭圆的一个顶点为抛物线x2=4y的焦点，∴b=1
∵椭圆的离心率为，∴e==，∴，∴a2=2
∴椭圆的方程为：
（II）得：x2-4x+4=0，解得x=2，
代入抛物线方程x2=4y，得y=1，故点A的坐标为（2，1），
因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，
即r=|1-（-1）|=2，
所以圆A的方程为：（x-2）2+（y-1）2=4．
（III）设斜率为1的直线方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y可得3x2+4mx+2m2-2=0
∵直线交椭圆于M、N两点，∴△=16m2-12（2m2-2）＞0，∴-＜m＜
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=
∴|MN|==
∵原点O到直线MN的距离d=
∴=××==（当且仅当时，取等号）
∴△OMN面积的最大值为．