Question

函数．
（I）若f（x）在x=2处取得极值，求p的值；
（II）若f（x）在其定义域内为单调函数求p的取值范围；
（III）若在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立，求p的取值范围．

Answer

（I）求导函数，利用f（x）在x=2处取得极值，可得f′（2）=0，从而可求p的值；
（II）若f（x）在其定义域内为单调函数，则f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，若f′（x）≥0恒成立，则在（0，+∞）上恒成立，即；若f′（x）≤0恒成立，则在（0，+∞）上恒成立，即，由此可求p的取值范围；
（III）先确定g（x）的值域为[2，2e]．再分类讨论，确定f（x）的值域，利用在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立，构建不等式，即可求p的取值范围．
【解析】
（I）f′（x）=
∵f（x）在x=2处取得极值，∴f′（2）=0
∴，∴p=；
（II）若f（x）在其定义域内为单调函数，则f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立
若f′（x）≥0恒成立，则在（0，+∞）上恒成立，即
若f′（x）≤0恒成立，则在（0，+∞）上恒成立，即
令=
∴x=1时，h（x）max=1；x→0或x→+∞时，h（x）min→0
∴p≤0或p≥1；
（III）∵g（x）在[1，e]上单调递减，∴g（x）的值域为[2，2e]．
①若p≥1，由（II）知，f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）的值域为[0，]
∵在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立，
∴，∴p＞；
②若p≤0，由（II）知，f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）的值域为[，0]
∵f（x）max=0＜2=g（x）min，∴此时不满足题意
③若0＜p＜1，则≤，函数在[1，e]上单调递增
∴≤e-
∵e-＜2=g（x）min，∴此时不满足题意
综上，p＞．