Question

已知奇函数f（x）=log₂（a+x）-log₂（a-x）（a＞0），定义域为（b，b+2）（定义域是指使表达式有意义的实数x的集合）．
（1）求实数a和b的值，并证明函数f（x）在其定义域上是增函数；
（2）设f（x）的反函数为f^-1（x），若不等式f^-1（x）≤m•2^x对于x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）先利用奇函数的定义域关于原点对称求出b的值，再根据f（x）为奇函数，有f（-x）=-f（x），由此等式解出a的值，最后利用单调性的定义说明不函数f（x）在其定义域上是增函数；
（2）根据反函数的定义求出原函数的反函数f-1（x）═，再由f-1（x）≤m•2x即，此式对于x∈[1，2]恒成立，再利用换元结合基本不等式得到有最大值为，从而求出实数m的取值范围．
【解析】
（1）∵奇函数的定义域关于原点对称，∴b+b+2=0⇒b=-1，∴定义域为（-1，1），
从而（a＞0）的解集为（-1，1），∴a=1，
∴，
设-1＜x1＜x2＜1，，
由-1＜x1＜x2＜1⇒0＜1+x1＜1+x2且0＜1-x2＜1-x1⇒且
⇒⇒，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在其定义域上是增函数
（2）令f（x）=y，则⇒2y-x•2y=1+x⇒（y∈R），
∴反函数f-1（x）═，由f-1（x）≤m•2x⇒，整理得，此式对于x∈[1，2]恒成立，令2x-1=t，则t∈[1，3]，，
当，即∈[1，3]时上式成立等号，即有最大值为，
∴．