Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足，设．
（1）求证：{b_n}为等差数列；
（2）若，求的值；
（3）是否存在正实数k，使得对任意n∈N*都成立？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由，再写一式，两式相减，利用，即可证得{bn}为公差为2的等差数列；
（2）先确定{bn}的通项公式，再利用裂项法求数列的和，进而可求极限；
（3）问题等价于，令，确定f（n）单调递增，求出函数的最小值，即可求实数k的取值范围．
（1）证明：由①，可得②，
②-①，得
∴，
∴
∴bn+1-bn=2，
∴{bn}为公差为2的等差数列．
（2）【解析】
由（1），bn=b1+2（n-1），在①中令n=1，得，∴，
∴，∴，
∴，
∴=
=．
（3）【解析】
，即，
∴，
令，
∴=
=，
又f（n）＞0，
∴f（n+1）＞f（n），即f（n）单调递增，
∴，
故要使f（n）≥k对任意n∈N*都成立，当且仅当[f（n）]min≥k，故．