Question

如图，设抛物线方程为x²=2py（p＞0），M为直线l：y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B．
（1）设抛物线上一点P到直线l的距离为d，F为焦点，当时，求抛物线方程；
（2）若M（2，-2），求线段AB的长；
（3）求M到直线AB的距离的最小值．

Answer

（1）根据，得yP+2p-（yP+）=，由此可求抛物线方程；
（2）求出抛物线方程与过M点的直线为y=k（x-2）-2联立，利用直线与抛物线相切，可求得xB-xA=，xB+xA=4．根据A、B在抛物线上，可求yB-yA，从而可求线段AB的长；
（3）设M（m，-2p），过M点的直线与抛物线联立，利用直线与抛物线相切，可得x1-x2=p（k1-k2），y1-y2==，从而可得直线AB的方程，利用点到直线的距离公式求得点M到AB的距离，利用基本不等式，即可求M到直线AB的距离的最小值．
【解析】
（1）由，得yP+2p-（yP+）=，∴p=1，
∴抛物线方程为x2=2y．
（2）M（2，-2）在直线y=-2p上，∴-2=-2p，解得p=1，
∴抛物线方程为x2=2y，
设过M点的直线为y=k（x-2）-2，联立：，消去y，得
即x2-2kx+4（k+1）=0（*），
∵直线与抛物线相切，∴△=0，即4k2-16（k+1）=0
∴k2-4k-4=0，∴，此时，方程（*）有等根x=k，
∴xB=，xA=，
∴xB-xA=，xB+xA=4．
∵A、B在抛物线上，
∴yB-yA=
∴|AB|=．
（3）设M（m，-2p），过M点的直线为L：y=k（x-m）-2p，联立：，消去y，得，
∴x2-2kpx+2p（km+2p）=0①，
∵直线与抛物线相切，∴△=0
∴4k2p2-8p（km+2p）=0，∴pk2-2mk-4p=0②，此时方程①有等根x=kp，
令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1-x2=p（k1-k2），y1-y2==，
∴AB的斜率k′==，
由②，根据韦达定理可得，∴k′=，
∴直线AB的方程为，
∴
∴化简可得，
∴，
由②pk2-2mk-4p=0，∴，
∴AB方程化为：2mx-2py+4p2=0，
∴点M到AB的距离d==，
当且仅当，即m2+p2=3p2，
∴时，上式等号成立，
∴M到直线AB的距离的最小值为．