Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=64，圆O₁与圆O相交，圆心为O₁（9，0），且圆O₁上的点与圆O上的点之间的最大距离为21．
（1）求圆O₁的标准方程；
（2）过定点P（a，b）作动直线l与圆O，圆O₁都相交，且直线l被圆O，圆O₁截得的弦长分别为d，d₁．若d与d₁的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值．

Answer

（1）圆O1的半径为4，圆心为O1（9，0），从而可得圆O1的标准方程；
（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y-b=k（x-a），求出O，O1到直线l的距离，从而可得d与d1的值，利用d与d1的比值总等于同一常数λ，建立方程，从而利用等式对任意实数k恒成立，得到三个方程，由此可得结论．
【解析】
（1）∵圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21，
∴圆O1的半径为4，
∵圆心为O1（9，0），
∴圆O1的标准方程为（x-9）2+y2=16；
（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y-b=k（x-a），即kx-y-ka+b=0
∴O，O1到直线l的距离分别为，
∴，
∵d与d1的比值总等于同一常数λ，
∴64-=λ2[16-]
∴[64-a2-16λ2+λ2（a-9）2]k2+2b[a-λ2（a-9）]k+64-b2-λ2（16-b2）=0
由题意，上式对任意实数k恒成立，所以64-a2-16λ2+λ2（a-9）2=0，2b[a-λ2（a-9）]=0，64-b2-λ2（16-b2）=0同时成立，
①如果b=0，则64-16λ2=0，∴λ=2（舍去负值），从而a=6或18；
∴λ=2，P（6，0），P（18，0）
②如果a-λ2（a-9）=0，显然a=9不满足，从而，3a2-43a+192=0，△=432-4×3×192=-455＜0，故方程无解，舍去；
当点P的坐标为（6，0）时，直线l的斜率不存在，此时d=，，∴也满足
综上，满足题意的λ=2，点P有两个，坐标分别为（6，0），（18，0）．