Question

选做题
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，自⊙O外一点P作⊙O的切线PC和割线PBA，点C为切点，割线PBA交⊙O于A，B两点，点O在AB上．作CD⊥AB，垂足为点D．
求证：．
B．选修4-2：矩阵与变换
设a，b∈R，若矩阵把直线l：y=2x-4变换为直线l′：y=x-12，求a，b的值．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
求椭圆C：=1上的点P到直线l：3x+4y+18=0的距离的最小值．
D．选修4-5不等式选讲
已知非负实数x，y，z满足x²+y²+z²+x+2y+3z=，求x+y+z的最大值．

Answer

A．利用弦切角定理可以证明∠PCB=∠PAC，又∠BPC=∠CPA，从而有△PCB∽△PAC，得到比例式，①又在直角三角形ABC中，有，②，等量代换得．
B．在直线l取两点M（2，0），N（0，-4），M，N在矩阵A对应的变换作业下分别对应于点M'，N'，分别求出点M'，N'的坐标，代入直线l′，建立方程组，解之即可．
C．先求出椭圆的参数方程点P（4cosθ，3sinθ）到直线l的距离d，再由和（差）角公式求出椭圆上的点到直线l的距离的最小值．
D．利用题中条件可化为：（x+）2+（y+1）2+（x+）2=，根据柯西不等式可得到[（x+）+（y+1）+（x+）]2≤3[（x+）2+（y+1）2+（x+）]=，从而求出x+y+z的最小值．
【解析】
A．证明：连接BC、AC，
∵PC作⊙O的切线，切点为C，
∴∠PCB=∠PAC，
又∵∠BPC=∠CPA，
∴△PCB∽△PAC；
∴，①
又在直角三角形ABC中，有，②
由①②得．
B：在直线l取两点M（2，0），N（0，-4）
M，N在矩阵A对应的变换作业下分别对应于点M'，N'
因 =，所以M'的坐标为（2a，-2）；
=，所以N'的坐标为（0，-4b）；
由题意可知M'，N'在直线l′上，
所以
解得：a=5，b=3．
C：∵设P（4cosθ，3sinθ）到直线l的距离：
d==
当sin（）=-1时，等号成立，
故d的最小值为．
D．条件可化为：（x+）2+（y+1）2+（z+）2=
则：[（x+）+（y+1）+（z+）]2≤3[（x+）2+（y+1）2+（z+）2]=
得x+y+z≤，当且仅当：x+=y+1=z+时取等号，
∴x+y+z的最小值为：．