Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=2，AA₁=2，F是棱BC的中点，点E在棱C₁D₁上，且D₁E=λEC₁（λ为实数）．
（1）当时，求直线EF与平面D₁AC所成角的正弦值的大小；
（2）求证：直线EF不可能与直线EA垂直．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，求出=（1，3，-2），平面D1AC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得直线EF与平面D1AC所成角的正弦值；
（2）假设EF⊥EA，则，由此可得方程，判断方程无解，即可得到结论．
（1）【解析】
建立如图所示的直角坐标系，

则A（2，0，0），C（0，4，0），D1（0，0，2），E（0，，2），F（1，4，0），则

当时，E（0，1，2），=（1，3，-2），设平面D1AC的法向量为，则
由，可得，所以可取
∴cos===
∴直线EF与平面D1AC所成角的正弦值为；
（2）证明：假设EF⊥EA，则
∵=（2，-，-2），=（1，4-，-2），
∴2-（4-）+4=0
∴3λ2-2λ+3=0
∵该方程无解，∴假设不成立，即直线EF不可能与直线EA垂直．