Question

记，其中x，y为正实数，n∈N₊．给定正实数a，b满足．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，f_n（a，b）≥f_n（2，2）．

Answer

欲证不等式为（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1，利用数学归纳法证明，第2步，先证明，再利用归纳假设，即可证得结论．
证明：欲证不等式为（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1
（1）当n=1时，不等式左边=0，右边=0，不等式成立；
（2）假设n=k时，不等式成立，即（a+b）k-ak-bk≥22k-2k+1
由正实数a，b满足，可得a+b=ab
∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≥4，a+b=ab≥4，∴
则n=k+1时，不等式左边=（a+b）k+1-ak+1-bk+1=（a+b）[（a+b）k-ak-bk]+akb+abk
≥4（22k-2k+1）+2k+2=22k+2-2k+2
即n=k+1时成立
由（1）（2）可知，正实数a，b满足，为（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1．