Question

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n 为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足b_n=，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式和T_n；
（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n，成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）（法一）在an2=S2n-1，令n=1，n=2，结合等差数列的通项公式可求a1=1，d=2，可求通项，而bn=，结合数列通项的特点，考虑利用裂项相消法求和
（法二）：由等差数列的性质可知，=（2n-1）an，结合已知an2=S2n-1，可求an，而bn=，结合数列通项的特点，考虑利用裂项相消法求和
（Ⅱ）由（I）可求T1=，Tm=，Tn=，代入已知可得
法一：由可得，＞0可求m的范围，结合m∈N且m＞1可求m，n
法二：由可得，结合m∈N且m＞1可求m，n
【解析】
（Ⅰ）（法一）在an2=S2n-1，令n=1，n=2可得
即
∴a1=1，d=2
∴an=2n-1
∵bn===（）
∴）=（1-）=
（法二）∵{an}是等差数列，
∴
∴=（2n-1）an
由an2=S2n-1，得an2=（2n-1）an，
又an≠0，
∴an=2n-1
∵bn===（）
∴）=（1-）=
（Ⅱ）∵T1=，Tm=，Tn=
若T1，Tm，Tn，成等比数列，则
即
法一：由可得，＞0
即-2m2+4m+1＞0
∴
∵m∈N且m＞1
∴m=2，此时n=12
∴当且仅当m=2，n=12时，T1，Tm，Tn，成等比数
法二：∵
∴
∴2m2-4m-1＜0
∴
∵m∈N且m＞1
∴m=2，此时n=12
∴当且仅当m=2，n=12时，T1，Tm，Tn，成等比数