Question

如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，…，依此类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是．记小球遇到第n行第m个障碍物（从左至右）上顶点的概率为P（n，m）．
（Ⅰ）求P（4，1），P（4，2）的值，并猜想P（n，m）的表达式（不必证明）；
（Ⅱ）已知f（x）=，设小球遇到第6行第m个障碍物（从左至右）上顶点时，得到的分数为ξ=f（m），试求ξ的分布列及数学期望．

Answer

（I）根据已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是，小球遇到第n行第m个障碍物（从左至右）上顶点的概率为P（n，m），可得P（4，1），P（4，2），可以猜想P（n，m）；            
（II）ξ的可能取值为3，2，1，求出相应概率，可得分布列，从而可得期望．
【解析】
（I）根据已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是，小球遇到第n行第m个障碍物（从左至右）上顶点的概率为P（n，m），可得P（4，1）==，P（4，2）==
猜想P（n，m）=；                        …（6分）
（II）ξ的可能取值为3，2，1，…（7分）
P（ξ=3）=P（6，1）+P（6，6）=，P（ξ=2）=P（6，2）+P（6，5）==，P（ξ=1）=P（6，3）+P（6，4）=
分布列为：

ξ 3 2 1
P

…（10分）
Eξ=3×+2×+1×=．                   …（12分）