Question

在平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心且面积最小的圆与直线l：y=mx+（3-4m）（m∈R）恒有公共点T．
（1）求出T点的坐标及圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使、、成等比数列，求的范围；
（3）设点T关于y轴的对称点为Q，直线l与圆O交于M、N两点，试求的最大值，并求出S取最大值时的直线l的方程．

Answer

（1）由y=mx+（3-4m）过定点T（4，3）可知，要使圆O的面积最小，半径最小，从而可得定点T（4，3）在圆上，可求圆O的方程
（2）可先设P（x，y），则科的…（1）由题意可得，，利用向量的数量积的坐标表示可得：，联立可求y的范围，代入可求求的范围
（3）直线l与圆O的一个交点为M（4，3），定点Q（-4，3），由向量的数量积的定义可得，=2S△MQN，从，要使S最大，则只要S△MNQ最大，即N到MQ的距离最大即可
【解析】
（1）因为直线l：y=mx+（3-4m）过定点T（4，3）…（2分）
由题意，要使圆O的面积最小，定点T（4，3）在圆上，
所以圆O的方程为x2+y2=25；…（5分）
（2）A（-5，0），B（5，0），设P（x，y），则…（1）
∵，，
由成等比数列得，，
即，
整理得：，
即…（2）
由（1）（2）得：，
，
当y=0时有最小值，当时，函数值为0
∴．（10分）
（3）
=，…（11分）
由题意，得直线l与圆O的一个交点为M（4，3），又知定点Q（-4，3），
直线lMQ：y=3，
∴|MQ|=8，则当N（0，-5）时S△MQN有最大值32．…（14分）
即有最大值为64，
此时直线l的方程为2x-y-5=0．…（16分）