Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+1在区间（-∞，-2]上单调递增，在区间上单调递减，若b是非负整数
（1）求f（x）的表达式；
（2）设0＜m≤2，若对任意的t₁，t₂∈[m-2，m]，不等式|f（t₁）-f（t₂）|≤16m恒成立，求实数m的最小值．

Answer

（1）求导函数，利用函数f（x）在区间（-∞，-2]上单调递增，在区间上单调递减，可得f′（-2）=0，，结合b是非负整数，可得f（x）的表达式；
（2）若对任意的t1，t2∈[m-2，m]，不等式|f（t1）-f（t2）|≤16m恒成立，等价于[f（x）]max-[f（x）]min≤16m，求出函数的最值，即可确定m的取值范围，从而可得m的最小值．
【解析】
（1）求导函数可得f′（x）=3x2+2bx+c
∵函数f（x）在区间（-∞，-2]上单调递增，在区间上单调递减，
∴f′（-2）=12-4b+c=0，即c=4b-12…（3分）
∵，∴28b-21≤0，∴
∵b是非负整数，∴b=0，…（6分）
从而c=12，所以f（x）=x3-12x+1…（8分）
（2）求导数f′（x）=3（x+2）（x-2），则f（x）在[-2，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增
∵0＜m≤2，∴-2＜m-2≤0，∴f（x）在[m-2，m]上单调递减
∴[f（x）]max=f（m-2），[f（x）]min=f（m）…（12分）
依题意[f（x）]max-[f（x）]min≤16m，即3m2+2m-8≥0
∴m≤-2或m≥
∵0＜m≤2，∴
∴m的最小值为…（16分）