Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠ABC=60°，侧棱长为，若经过AB₁且与BC₁平行的平面交上底面线段A₁C₁于点E．
（1）试求AE的长；
（2）求证：A₁C⊥平面AB₁E．

Answer

（1）连接A1B交AB1于点O，连接OE，根据三角形中位线定理得OE∥BC1，根据直线与平面平行的判定定理即可得出BC1∥平面AB1E，从而有点E为线段A1C1的中点，从而得出AE的长．
（2）由题意有△A1B1C1为边长为a的正三角形，再结合点E为线段A1C1的中点得B1E⊥A1C1又根据面面垂直的性质得到B1E⊥A1C，最后利用在平面ACC1A1中由平几知识结合线面垂直的判定可得A1C⊥平面AB1E．
【解析】
（1）AE的长为：，即点E为线段A1C1的中点．理由如下：
连接A1B交AB1于点O，连接OE，则有OE∥BC1，
又∵OE⊂平面AB1E，BC1⊄平面AB1E，∴BC1∥平面AB1E--------（6分）
（2）由题意有△A1B1C1为边长为a的正三角形，
又点E为线段A1C1的中点，∴B1E⊥A1C1
又平面A1B1C1⊥平面ACC1A1，且平面A1B1C1∩平面ACC1A1=A1C1，
∴B1E⊥平面ACC1A1，∴B1E⊥A1C．------（10分）
在平面ACC1A1中由平几知识可得A1C⊥AE，又B1E∩AE=E，
所以A1C⊥平面AB1E．------------------------（14分）