Question

如果一个数列的各项均为实数，且从第二项起开始，每一项的平方与它前一项的平方的差都是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
（1）若数列{b_n}是等方差数列，b₁=1，b₂=3，求b₇；
（2）是否存在一个非常数数列的等差数列或等比数列，同时也是等方差数列？若存在，求出这个数列；若不存在，说明理由．
（3）若正项数列{a_n}是首项为2、公方差为4的等方差数列，数列的前n项和为T_n，是否存在正整数p，q，使不等式对一切n∈N^*都成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）利用等方差数列的定义求出公方差，即可求得b7的值；
（2）若数列{an}是等差数列，设an=an+b（a，b∈R），利用{an}也是等方差数列，应有（k为与n无关的常数），从而可得an=b必为一常数数列；若数列{an}是等比数列，利用{an}也是等方差数列，应有（k为与n无关的常数），可得q=±1，再验证即可；
（3）先求数列的前n项和，再假设存在正整数p，q，使不等式对一切n∈N*都成立，猜想p=q=1，再进行证明．
【解析】
（1）由{bn}是等方差数列，b1=1，b2=3，有公方差d=32-12=8，------（1分）
于是，∴b7=±7------------------------------（3分）
（2）若数列{an}是等差数列，设an=an+b（a，b∈R），则，
要使{an}也是等方差数列，应有（k为与n无关的常数），得a2=0，即a=0，这时an=b必为一常数数列，因此不存在一个非常数数列的等差数列，同时也是等方差数列．-----（5分）
若数列{an}是等比数列，设（q为公比且q≠0），则，
要使{an}也是等方差数列，应有（k为与n无关的常数），即，所以必有q2=1，q=±1，----------（7分）
当q=1时，数列{an}是常数数列，故舍去
当q=-1时，所以存在一个非常数数列的等比数列，同时也是等方差数列，其公比q=-1．--（9分）
（3）由于{an}是首项为2，公方差为4的等方差数列，∴，
∴，------（10分）
∴数列的前n项和为：---（11分）
假设存在正整数p，q使不等式对一切n∈N*都成立．
即
当n=1时，，∴，又p，q为正整数，∴p=q=1．--（13分）
下证明：对一切n∈N*都成立．
由于
所以．（16分）