Question

已知椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 设直线l的斜率为k，且经过椭圆C的右焦点F，与C交于A，B两点，点P满足，试判断是否存在这样的实数k，使点P在椭圆C上，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据椭圆离心率为，可得3a2=4b2，利用点在椭圆C上，可得，由此可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1）与椭圆方程联立，消元，利用，确定坐标之间的关系，利用韦达定理，可得P的坐标，设P在椭圆C上，利用椭圆方程，即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）由已知可得，所以3a2=4b2①
又点在椭圆C上，所以②
由①②解之，得a2=4，b2=3．
故椭圆C的方程为．…（5分）
（Ⅱ） 椭圆C的右焦点F（1，0），设直线l的方程为y=k（x-1）
则由消y化简整理得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0------（7分）
设A，B，P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x，y），则
∵
∴．-------------（9分）
设P在椭圆C上，所以 ．
从而，化简得4k2=3+4k2，无解
所以不存在这样的实数k，使点P在椭圆C上------------------------------------------------（12分）