Question

如图，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AD=AC=AB=DE，∠DAC=90°，F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．

Answer

（Ⅰ）取CE的中点M，连接MF，MB，在△CDE中，MF∥DE，MF=，又因为AB⊥面ACD，DE⊥面ACD．所以AB∥DE，且AB=，由此能够证明AF∥平面BCE．
（Ⅱ）AC=AD，F是CD中点，所以AF⊥CD，又DE⊥面ACD，所以DE⊥AF，CD∩DE=D，AF⊥平面CDE，由此能够证明平面BCE⊥平面CDE．
【解析】
（Ⅰ）取CE的中点M，连接MF，MB，
在△CDE中，MF∥DE，MF=，
又因为AB⊥面ACD，DE⊥面ACD．
所以AB∥DE，且AB=，
∴MF∥AB，且MF=AB，
∴四边形ABMF是平行四边形，
AF∥BM，AF⊄面BCE，所以BM⊂面BCE，
故AF∥平面BCE．…（6分）
（Ⅱ）AC=AD，F是CD中点，所以AF⊥CD，
又DE⊥面ACD，所以DE⊥AF，CD∩DE=D，
AF⊥平面CDE，
由（Ⅰ）知AF∥BM，BM⊥平面CDE，
BM⊂面BCE，
故平面BCE⊥平面CDE．…（12分）