Question

如图所示的多面体中，正方形BB₁C₁C所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边的等腰直角三角形，B₁A₁∥BA，．
（1）求证：C₁A₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）求直线BC₁与平面AA₁C₁所成的角的正弦值．

Answer

解法1：（1）证明C1A1⊥平面ABB1A1，利用线面垂直的判定定理，只需证明A1C1⊥A1O，A1C1⊥AB；
（2）作BD⊥直线AA1于D，连接C1D，∠BC1D即为直线BC1与平面AA1C1所成的角，再利用正弦函数，可求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值；
解法2：（1）C为原点，以CA为x轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用数量积为0证明垂直关系，即可证得线面垂直；
（2）求出面A1C1C的法向量，，利用向量的数量积公式即可求解．
解法1：（1）证明：取AB的中点O，连接A1O，OC．
∵AC=BC，∴CO⊥AB，
∵四边形A1OBB1为平行四边形，∴
∵，∴
又由CC1⊥面ABC知CC1⊥CO，∴四边形A1OCC1为矩形，
∴A1C1⊥A1O，A1C1⊥AB…（4分）
又∵A1O∩AB=C，∴C1A1⊥平面ABB1A1…（6分）
（2）【解析】
作BD⊥直线AA1于D，连接C1D．
由（1）知平面AA1C1⊥平面ABB1A1，从而BD⊥平面AA1C1，
∴∠BC1D即为直线BC1与平面AA1C1所成的角．…（8分）
∵，∴，
于是，∴
∴，
∴直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值为．…（12分）
解法2：CA，CB，CC1两两垂直，且CA=CB=CC1=1，以C为原点，以CA为x轴建立空间直角坐标系如图，
则，
所以，，，．…（2分）
（1）证明：∵，，
∴C1A1⊥AA1，C1A1⊥AB，
又∵AA1∩AB=A，
∴C1A1⊥平面ABB1A1…（6分）
（2）设面A1C1C的法向量为，
由，可得，
令x=1，则…（8分）
又，
设直线B证明C1与平面AA1C1所成的角为θ，则．…（12分）