Question

如图，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离SA按米处理）．
（1）求摄影者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；
（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影者观察彩杆MN的视角∠MSN（设为θ）是否存在最大值？若存在，请求出∠MSN取最大值时cosθ的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB
（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（-cosα，-sinα），由（Ⅰ）知．，利用向量的数量积的坐标表示可求，结合余弦函数的性质可求
另【解析】
由题意可得cos∠MOS=-cos∠NOS，结合余弦定理可得，则有SM2+SN2=26可求cosθ范围
【解析】
（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，
依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．
又，故在Rt△SAB中，可求得，
即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）
由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中，
又，故，即立柱的高度为米．…（6分）
（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐
标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），
则N（-cosα，-sinα），由（Ⅰ）知．…（8分）
故，，（10分）==
由α∈[0，2π）知…（12分）
所以，易知∠MSN为锐角，
故当视角∠MSN取最大值时，．…（13分）
另【解析】
∵cos∠MOS=-cos∠NOS
∴
于是    得SM2+SN2=26
从而