Question

已知f（x）=log₂（4^x+1）+2kx  （x∈R）是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若函数F（x）=f（x）-m的一个零点在区间（0，）内，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由题意可得f（-x）=f（x），化简可得即-4kx=0，即-2x-4kx=0，由此求得 k的值．
（2）由以上可得 f（x）=log2（4x+1）-x，F（0）F（）＜0，化简得（m-1）（m-）＜0，由此求得实数m的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=log2（4x+1）+2kx （x∈R）是偶函数，∴f（-x）=f（x），即 log2（4-x+1）-2kx=log2（4x+1）+2kx，
∴-4kx=0，即 -4kx=0，即-4kx=0，即-2x-4kx=0，
∴k=-．
（2）由以上可得 f（x）=log2（4x+1）-x，若函数F（x）=f（x）-m=log2（4x+1）-x-m 的一个零点在区间（0，）内，
则有 F（0）F（）＜0，即 （1-m）×（log23--m）＜0，即 （m-1）（m-）＜0，解得 1＜m＜，
故实数m的取值范围为 （1，）．