Question

设a₁≤a₂≤…≤a_n，b₁≤b₂≤…≤b_n为两组实数，c₁，c₂，…，c_n是b₁，b₂，…，b_n的任一排列，我们称S=a₁c₁+a₂c₂+a₃c₃+…+a_nc_n为两组实数的乱序和，S₁=a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁为反序和，S₂=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n 为顺序和．根据排序原理有：S₁≤S≤S₂即：反序和≤乱序和≤顺序和．给出下列命题：
①数组（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和为60；
②若A=++…+，B=x₁x₂+x₂x₃+…+x_n-1x_n+x_nx₁其中x₁，x₂，…x_n都是正数，则A≤B；
③设正实数a₁，a₂，a₃的任一排列为c₁，c₂，c₃则++的最小值为3；
④已知正实数x₁，x₂，…，x_n满足x₁+x₂+…+x_n=P，P为定值，则F=++…++的最小值为．
其中所有正确命题的序号为    ．（把所有正确命题的序号都填上）

Answer

对于①，利用定义求出数组（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和能判断①的对错；
对于②，不妨设x1≤x2≤…≤xn，由乱序和≤顺序和，得x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1≤x12+x22+…+xn2，由此能判断②的对错；
对于③，不妨设a1≥a2≥a3＞0，则，由排序原理能判断③的对错；
对于④，由x1≥x2≥…≥xn＞0，则，，由此能判断④的对错．
【解析】
对于①，数组（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和S1=2×7+4×5+6×3+8×1=60，故①对；
对于②，不妨设x1≤x2≤…≤xn，由乱序和≤顺序和，得x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1≤x12+x22+…+xn2，即B≤A，故②错；
对于③，不妨设a1≥a2≥a3＞0，则，
由排序原理有≥，所以最小值为3，故③对；
对于④，由x1≥x2≥…≥xn＞0，
则，
，
∴F≥=x1+x2+…+xn=P，故④错．
故答案为：①③．