Question

设函数．
（1）试判断当x＞0，g（x）与f（x）的大小关系；
（2）求证：…[1+n（n+1）]＞e^2n-3（n∈N^*）；
（3）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函数y=g（x）的图象上的两点，且g′（x）=（其中g′（x）为g（x）的导函数），证明：x∈（x₁，x₂）．

Answer

（1）欲求g（x）与f（x）的大小关系只需判断F（x）=g（x）-f（x）的正负，利用导数研究函数F（x）的最小值，使最小值与0比较即可；
（2）由（1）知 令x=n（n+1）（n∈N*），则，从而可证得结论；
（3）根据，于是，，然后证明，等价于x1lnx2-x1lnx1-x2+x1＜0，令h（x）=xlnx2-xlnx1-x2+x，利用导数研究最小值与0比较，对于 同理可证，即可证得结论．
（1）【解析】
设F（x）=g（x）-f（x）（x＞0）
则F′（x）=-
由F′（x）=0得x=3
当0＜x＜3时，F′（x）＜0；当x＞3时，F′（x）＞0
∴x=3时，F（x） 取得最小值为F（3）=ln3-1＞0 
∴F′（x）＞0即g（x）＞f（x） …（5分）
（2）证明：由（1）知 
令x=n（n+1）（n∈N*），则 …（7分）
∴ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln[1+n（n+1）]＞（2-）+（2-）+…+[2-]
=2n-3[++…+]
=2n-3（1-）＞2n-3
∴（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e2n-3…（10分）
（3）证明：，于是，，
以下证明 
等价于x1lnx2-x1lnx1-x2+x1＜0．
令h（x）=xlnx2-xlnx1-x2+x …（12分）
则h'（x）=lnx2-lnx1，在 上，h'（x）＞0 
所以h（x）在（0，x2]上为增函数
当x1＜x2时h（x1）＜h（x2）=0，即x1lnx2-x1lnx1-x2+x1＜0 
从而x＞x1，得到证明．对于 同理可证．
所以x∈（x1，x2）．…（16分）