Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面BB₁C₁C⊥面ABC，AB=AC，D是BC的中点，M为AA₁上一动点．
（1）求证：AD⊥CC₁；
（2）若AM=MA₁，求证：AD∥平面MBC₁；
（3）若面MBC₁⊥面BB₁C₁C，求证：AM=MA₁．

Answer

（1）等腰△ABC中，中线AD⊥BC，结合线面垂直的性质定理，可得AD⊥面B1BCC1，从而AD⊥CC1；
（2）取BC的中点E，连接DE、ME．利用三角形中位线定理，结合平行四边形的性质，证出四边形ADEM是平行四边形，从而AD∥EM，可得AD∥平面MBC1；
（3）过点M作ME⊥BC1，垂足为E，连接EM．由线面垂直的性质定理，可得ME⊥面BB1C1C，结合AD⊥面B1BCC1，得ME∥AD．再根据线面平行的性质定理，证出DE∥AM，从而四边形ADEM是平行四边形．由此可得AM=DE=CC1=AA1，故AM=MA1．
【解析】
（1）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC
又∵面B1BCC1⊥面ABC，面B1BCC1∩面ABC=BC
∴AD⊥面B1BCC1，
又∵CC1⊂面B1BCC1，∴AD⊥CC1；
（2）取BC的中点E，连接DE、ME
∵△CC1B中，DE是中位线
∴DE∥CC1，且DE=CC1，
又∵平行四边形AA1C1C中，M是AA1中点
∴AM∥CC1，且AM=CC1，
∴DE∥AM且DE=AM，可得四边形ADEM是平行四边形
∴AD∥EM，
∵AD⊈平面MBC1且EM⊆平面MBC1
∴AD∥平面MBC1；
（3）过点M作ME⊥BC1，垂足为E，连接EM
∵面MBC1⊥面BB1C1C，面MBC1∩面BB1C1C=BC1，ME⊥BC1，
∴ME⊥面BB1C1C，
∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC
又∵面B1BCC1⊥面ABC，面B1BCC1∩面ABC=BC
∴AD⊥面B1BCC1，可得ME∥AD
设AD、EM确定的平面为α，
∵AM∥面BB1C1C，AM⊆α，α∩面BB1C1C=DE，
∴DE∥AM
∴四边形ADEM是平行四边形，可得AM=DE
∵△BCC1中，DE∥CC1且D为BC的中点，∴DE=CC1，
因此，可得AM=CC1=AA1，故AM=MA1．