Question

设数列{a_n}（n∈N）满足a=0，a₁=2，且对一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）当n∈N⁺时，令，S_n是数列{b_n}的前n项和，求证：．

Answer

（I）由an+2-an+1=an+1-an+2得，数列{an+1-an}为等差数列，且首项a1=2，公差为2，由此能求出数列{an}的通项公式；
（II）确定数列的通项，利用裂项法求和，借助于单调性，即可得到结论．
【解析】
（I）由an+2-an+1=an+1-an+2可得：数列{an+1-an}为等差数列，且首项a1-a=2-0=2，公差为2（3分）
∴an-an-1=（a1-a）+2（n-1）=2+2（n-1）=2n（4分）
∴an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=2+4+6+…+2n==n（n+1）（6分）
（II）由（I）可知：=-=（-）
∴Sn=b1+b2+…+bn=[（1-）+（-）+…+（-）]=（1+--）＜（10分）
易知：Sn在n∈N*时，单调递增，
∴Sn≥S1=（11分）
∴≤Sn＜（12分）