Question

一动圆与圆外切，与圆内切．
（I）求动圆圆心M的轨迹L的方程．
（Ⅱ）设过圆心O₁的直线l：x=my+1与轨迹L相交于A、B两点，请问△ABO₂（O₂为圆O₂的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用动圆与圆外切，与圆内切，可得|MO1|=R+1，|MO2|=3-R，∴|MO1|+|MO2|=4，由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，从而可得动圆圆心M的轨迹L的方程；
（2）当最大时，r也最大，△ABO2内切圆的面积也最大，表示出三角形的面积，利用换元法，结合导数，求得最值，即可求得结论．
【解析】
（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为R．
由题意，动圆与圆外切，与圆内切∴|MO1|=R+1，|MO2|=3-R，∴|MO1|+|MO2|=4．      （3分）
由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a=2，c=1，
∴b2=a2-c2=4-1=3．
∴动圆圆心M的轨迹L的方程为．  （6分）
（2）如图，设△ABO2内切圆N的半径为r，与直线l的切点为C，则三角形△ABO2的面积=
当最大时，r也最大，△ABO2内切圆的面积也最大，（7分）
设A（x1，y1）、B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），
则，（8分）
由，得（3m2+4）y2+6my-9=0，
解得，，（10分）
∴，令，则t≥1，且m2=t2-1，
有，令，则，
当t≥1时，f'（t）＞0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，，
即当t=1，m=0时，4r有最大值3，得，这时所求内切圆的面积为，
∴存在直线l：x=1，△ABO2的内切圆M的面积最大值为．（14分）