Question

已知函数f（x）=cos（2x+）+sin²x．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ） 若△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且C为锐角，f（）=-，c=，a+b=3，求△ABC的面积．

Answer

（I）将函数表达式展开，结合三角函数降次公式合并，可得f（x）=-sin2x+，由此不难得到函数f（x）的最大值；
（II）由f（）=-，可算出sinC=结合C为锐角得C=，再利用三角形的余弦定理结合题中给出的数据，算出ab=2，最后可用正弦定理的面积公式求出△ABC的面积．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=cos（2x+）+sin2x=cos2x-sin2x+（1-cos2x）=-sin2x+…（3分）
∴当2x=-+2kπ时，即x=kπ-（k∈Z）时，函数f（x）=的最大值是-+…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（）=-sinC+=-，可得sinC=
∵C为锐角，∴C=…（8分）
又∵c2=a2+b2-2abcosC，a2+b2=（a+b）2-2ab
∴3=32-2ab（1+cosC）=9-3ab，∴ab=2      …（10分）
∴△ABC的面积S=absinC=．…（12分）