Question

设函数f（x）=p（x-）-2lnx，g（x）=．（p是实数，e是自然对数的底数）
（1）当p=2时，求与函数y=f（x）的图象在点A（1，0）处相切的切线方程；
（2）若f（x）在其定义域内为单调递增函数，求p的取值范围；
（3）若在[1，e]上至少存在一点x_o，使得f（x）＞g（x）成立，求p的取值范围．

Answer

（1）求导要使“f（x）为单调增函数”，转化为“f’（x）≥0恒成立”，再转化为“p≥=恒成立”，由最值法求解．同理，要使“f（x）为单调减函数”，转化为“f’（x）≤0恒成立”，再转化为“p≤=恒成立”，由最值法求解，最后两个结果取并集．
（2）由“函数f（x）的图象相切于点（1，0”求得切线l的方程，再由“l与g（x）图象相切”得到（p-1）x2-（p-1）x-e=0由判别式求解即可．
（3）因为“在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立”，要转化为“f（x）max＞g（x）min”解决，易知g（x）=在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]，①当p≤0时，f（x）在[1，e]上递减；②当p≥1时，f（x）在[1，e]上递增；③当0＜p＜1时，两者作差比较．
【解析】
（1）∵，要使f（x）为单调增函数，须f’（x）≥0恒成立，
即px2-2x+p≥0恒成立，即p≥=恒成立，又≤1，
所以当p≥1时，f（x）在（0，+∞）为单调增函数．
要使f（x）为单调减函数，须f’（x）≤0恒成立，即px2-2x+p≤0恒成立，即p≤=恒成立，又＞0，所以当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．
综上所述，f（x）在（0，+∞）为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0
（2）∵，，∴f’（1）=2（p-1），设直线l：y=2（p-1）（x-1），
∵l与g（x）图象相切，∴y=2（p-1）（x-1）得（p-1）（x-1）=，即（p-1）x2-（p-1）x-e=0
y=当p=1时，方程无解；当p≠1时由△=（p-1）2-4（p-1）（-e）=0，得p=1-4e，综上，p=1-4e
（3）因g（x）=在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]
①当p≤0时，由（1）知f（x）在[1，e]上递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意
②当p≥1时，由（1）知f（x）在[1，e]上递增，f（1）＜2，又g（x）在[1，e]上为减函数，
故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，
即：f（e）=p（e-）-2lne＞2⇒p＞③当0＜p＜1时，因x-≥0，x∈[1，e]
所以f（x）=p（x-）-2lnx≤（x-）-2lnx≤e--2lne＜2不合题意
综上，p的取值范围为（ ，+∞）