Question

如图，三棱柱ADF-BCE中，四边形ABCD和正方形ABEF的边长均为2，∠ABC=60°，∠ABE=90°，平面ABCD⊥平面ABEF，M，N分别是AC，BF上的动点．
（I）若M，N分别是AC，BF的中点，求证：MN∥平面ADF；
（Ⅱ）若AM=FN=a（0≤a≤2），当四面体AMNB的体积最大时，求实数a的值．

Answer

（I）分别取AD、AF的中点G、H，连接GH、MG、NH．利用三角形中位线定理结合棱柱的性质，可以证出HN与MG平行且相等，所以MNHG是平行四边形，得到MN∥GH，最后根据线面平行的判定定理，得出MN∥平面ADF；
（II）分别过点M、N作ML⊥AB，NK⊥AB，垂足分别是L、K．由面面垂直的性质定理，可得NK⊥平面ABCD，利用含有60°的直角三角形，算出S△ABM，利用含有45°的直角三角形，算出NK的长，从而得到四面体AMNB的体积关于实数a的二次函数表达式，结合二次函数的性质，不难得到当四面体AMNB的体积最大时，实数a的值．
【解析】
（I）分别取AD、AF的中点G、H，连接GH、MG、NH
∵△ACD中，MG是中位线，∴MG∥CD且MG=CD
同理可得：HN∥AB且HN=AB
∵AB∥CD且AB=CD，
∴HN∥MG且HN=MG，可得四边形MNHG是平行四边形
∴MN∥GH
∵GH⊆平面ADF，MN⊈平面ADF，
∴MN∥平面ADF；
（II）分别过点M、N作ML⊥AB，NK⊥AB，垂足分别是L、K
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，NK⊆平面ABEF，NK⊥AB
∴NK⊥平面ABCD
∵Rt△AML中，∠MAL=∠ABC=60°，AM=a，∴ML=asin60°=a
∵Rt△NKB中，∠NBK=45°，NB=2-a，∴NK=2-a
因此，四面体AMNB的体积为
V=S△ABM•NK=（×2×a）（2-a）=a-a2=-（a-）2+（0≤a≤2）
∴当且仅当a=时，四面体AMNB的体积最大值为．
所以，当四面体AMNB的体积最大时，实数a的值为．