Question

如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求三棱锥A-BCE的体积．

Answer

（Ⅰ）由DE⊥平面ACD，得DE⊥AF．再由等腰三角形的中线也是高，得到AF⊥CD，结合线面垂直的判定定理，可得AF⊥平面CDE．
（II）由直线与平面平行的性质，可知点E到平面ABC的距离h等于点D到平面ABC的距离，并且这个距离等于△ABC中AC边上的高，这样将三棱锥A-BCE的体积转化为三棱锥E-ABC的体积，再结合Rt△ABC的面积，不难求出该几何体的体积．
【解析】
（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．
又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，
∵CD∩DE=D，CD、DE⊆平面CDE
∴AF⊥平面CDE．
（Ⅱ）∵AB⊥平面ACD，可得AB⊥AC，
∴，
∵DE∥AB，
∴点E到平面ABC的距离h等于点D到平面ABC的距离，
即△ABC中AC边上的高．
∴三棱锥体积V三棱锥A-BCE=V三棱锥E-ABC=S△ABC中×h=．