Question

椭圆的两个焦点分别为F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率．

Answer

（1）先确定F2是F1E的中点，进而可得几何量之间的关系，即可求得椭圆的离心率；
（2）设直线的方程，代入椭圆方程，利用B为线段AE的中点，结合韦达定理，可求直线AB的斜率．
【解析】
（1）由得F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，
∴F2是F1E的中点，从而，整理，得a2=3c2，
∴离心率
（2 ）由（1）得b2=a2-c2=2c2，所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2
设直线AB的方程为，即y=k（x-3c）
由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组
消去y整理，得（2+3k2）x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0．
依题意，△=48c2（1-3k2）＞0，∴
而①②
由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2③
联立①③解得，．将x1，x2代入②中，解得．