Question

已知F₁，F₂分别为双曲的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．（0，3]
C．（1，3]
D．（0，2]

Answer

由定义知：|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==，当且仅当 ，即|PF1|=2a时取得等号．再由焦半径公式得双曲线的离心率的取值范围．
【解析】
由定义知：|PF2|-|PF1|=2a，
|PF2|=2a+|PF1|，
=
=，
当且仅当 ，
即|PF1|=2a时取得等号
设P（x，y） （x≤-a）
由焦半径公式得：
|PF1|=-ex-a=2a
ex=-2a
e=-≤3
又双曲线的离心率e＞1
∴e∈（1，3]．
故选C．